Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения

21.03.2010 |

При разработке различных систем, для более простого представления, обычно используют величину, называемую «ошибкой регулирования» или просто «ошибкой». Эта величина определяет, насколько далеко объект управления отстоит от заданного состояния. В примере управления тележкой, эта величина будет обозначать то оставшееся расстояние, которое тележке осталось пройти, что бы попасть в заданное положение.

Таким образом, ошибка регулирования есть разность между заданной и настоящей координаты системы: $e=x_g -x$ ,где $e$ – ошибка регулирования.

В некоторой литературе эту величину еще называют «невязкой» или «рассогласованием». Если ошибка положительна, значит тележке еще предстоит переместиться в заданном направлении. Если она отрицательна, значит тележка находится уже за заданной координатой и ей необходимо переместиться в обратном направлении. Когда тележка двигается в заданном направлении, сокращая оставшееся расстояние до заданной координаты, абсолютное значение ошибки регулирования уменьшается. Из этого следует, что производная ошибки по знаку противоположна производной координаты: $\dot{e}=\dot{x}$ .

Обратим внимание, при расчете производной ошибки не учитывается производная заданной координаты $x_g$ . То есть при анализе движения полагается, что заданное положение тележки постоянно во времени: $x_g=const$ . Это вынужденная мера, так как производная заданной координаты может принимать какие угодно большие значения и в общем случае не имеет ни каких физических ограничений. Например, в какой то момент времени, в соответствии с технологически процессом, заданное положение тележки может скачкообразно измениться на любую допустимую величину. В этот момент времени производная заданной координаты по определению не существует. Для того чтобы не смешивать реальные физические процессы с поведением оператора, во всех расчетах, заданная координата считается константой.

Второй важный момент состоит в определении ЦЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ. Критерий в данном случае очевиден – ошибка регулирования должна как можно быстрее стремиться к нулю.

Рассмотрим физические законы, описывающие движение тележки в момент торможения.

$\dot{e}(t)=-\dot{x}(t)=-\dot{x}_T - \frac{F_T}{m}t=\dot{e}_T- \frac{F_T}{m}t$ ,

$e(t)=x_g-x(t)=x_g-x_T-\dot{x}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^2}{2}=e_T+\dot{e}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^{2}}{2}$ ,

где $e_T$ - ошибка регулирования на момент начала торможения, $\dot(e)_T$ - производная ошибки на начало торможения, $F_T$ - сила торможения.

В конце торможения тележка останавливается (то есть производная координаты равна нулю) в заданном положении: $\dot{x}(t_k)=0$ , $x(t_k)=x_g$ , где $t_k$ - время торможения.

Из этого следует: $\dot{e}(t_k)=-\dot{x}(t_k)=0$ , $e(t_k)=x_g-x(t_K)=0$ .

Из законов торможения следует следующая система уравнения:

$0=\dot{e}_T-\frac{F_T}{m}t$ , $0=e_T+\dot{e}_Tt- \frac{F_T}{m} \frac{t^{2}}{2}$ .

Выразим время из первого уравнения и подставим во второе:

$\dot{e}_T=\frac{F_T}{m}t_k\rightarrow t_k=\dot{e}_T\frac{m}{F_T}$ ,

o=e_T+\dot{e}_T\dot{e}_T\frac{F_T}{m}-\frac{F_T}{m}\frac{1}{2}(\dot{e}_T\frac{m}{F_T})^2=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_T}\dot{e}_T\dot{e}_T.

Теперь разберемся с силой торможения. Очевидно, что ее направление будет противоположно скорости движения тележки. Например, если тележка двигалась в положительном направлении, то производная ее координаты на момент торможения больше нуля, а сила торможения будет иметь отрицательный знак: $F_T=-F_{max}, \dot{x}_T>0$ . (Не забываем, что рассматриваем релейный алгоритм – тормозим тележку с максимально возможной силой ). Если же тележка двигалась в обратном направлении, то сила торможения будет иметь положительный знак: $F_T=+F_{max}, \dot{x}_T<0$ .

Совместно эти два правила записываются следующим образом:

$F_T=-sign(\dot{x}_T)F_{max}=sign(\dot{e}_T)F_{max}$ ,

где $sign$ - «сигнатура»- функция, обозначающая знак величины. В частности, справедливо следующее выражение: $y=sign(y)|y|$ , где $y$ -любая знакопеременная величина, а $|y|$ - «модуль»- абсолютное значение этой величины. Возвращаемся к нашим уравнениям и подставляем выражение для силы торможения:

$0=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_T}\dot{e}_T\dot{e}_T=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{sign(\dot{e}_T)F_{max}}\dot{e}_Tsign(\dot{e}_T)|\dot{e}_T|=e_T+\frac{1}{2}\frac{m}{F_{max}}\dot{e}_T|\dot{e}_T|$ .

Таким образом, что бы определить, сможем ли мы за одно включение торможения остановиться в заданной координате нам необходимо, проверить, что текущая ошибка и ее производная соответствует следующему ЗАКОНУ ТОРМОЖЕНИЯ, который имеет очень важные следствия для реализации системы управления. Пока запомним его, обведем в рамку и повесим на стене:

Физический смысл закона торможения состоит в том, что если объект управления, рассматриваемый как материальная точка, находится в состоянии, удовлетворяющему этому закону, то регулятор должен переключиться в режим торможения и тогда за одно включение торможения объект управления остановится в заданной координате.

На самом деле, если в данный момент времени, ошибка имеет некоторое значение $e$ , а ее производная – $\dot{e}$ и они соответствуют приведенному выше закону, то очевидна справедливость подстановки $e=e_T$ , $\dot{e}=\dot{e}_T$ , которая приводит нас к системе уравнений, обеспечивающей остановку объекта управления в заданной координате. Хочу обратить ваше внимание на то, что закон торможения следует из закона сохранения кинетической энергии. Теперь, осталось дело за малым – заставить объект управления попасть в состояние, соответствующее закону торможения.

Быстрее! Сильнее! Точнее!<< Оглавление >>Рисуем фазовый портрет

Рубрика: Новости

octopus:

22 августа 2010 в 19:57

здравствуйте. А может просто описать что такое шаговый двигатель и как им управлять? Цепляем к тележки и опытным путём выясняемым сколько шагов до заданной точки двигателю нужно сделать. Сейчас же всё должно быть проще.)))

Ответить

admin:

24 августа 2010 в 3:58

На самом деле применение шагового мотора все упрощает, но только в одном случае, когда момент шагового двигателя таков, что он в состоянии остановить разогнанную тележку в пределах половины одного шага, то есть M*D/2>m*(V^2)/2?
где М-максимальный момент двигателя, D-шаг двигателя (угол), m- масса тележки, V-скорость движения тележки.

Элементарная теория автоматического управления

Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения

Комментарии (2) на “Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения”

Оставить комментарий