Быстрее! Сильнее! Точнее! Эффективный и простой алгоритм управления.

20.03.2010 |

В первую очередь рассмотрим простой алгоритм работы регулятора, когда сигнал управления может принимать только три значения +1(«вперед»), 0 – «стоп», -1 («назад»).

На заре кибернетики, когда ассортимент элементной базы был еще довольно скудным, подобный алгоритм управления было принято реализовывать при помощи электромагнитного преобразователя, который называли «реле». Поэтому подобные простые алгоритмы управления с тех времен принято называть «релейными».

Принцип действия релейного алгоритма состоит в следующем порядке действий.

В момент начала движения, когда тележка находиться в состоянии покоя, привод тележки развивает максимальную тягу в сторону заданного перемещения, как это показано на рисунке 8. Если движение необходимо произвести в обратном направлении, то иллюстрация разгона будет зеркальным отражением картинки, показанной на этом рисунке.

Рисунок 8. Разгон тележки.

В режиме разгона, положение и скорость тележки будет подчиняться паре уравнений, следующих непосредственно из второго закона Ньютона. Вывод этих уравнений, с учетом $u(t)=1$ предельно прост:

$\dot{x}(t)=\dot{x}_0+\frac{1}{m}\int_{0}^{t}{F(\tau)d\tau}=\dot{x}_0+\frac{F_{max}}{m}\int_{0}^{t}{u(\tau)d\tau}=\dot{x}_0+\frac{F_{max}}{m}t$ $x(t)=x_0+\int_{0}^{t}{\dot{x}(\tau)d\tau}=x_0+\int_{0}^{t}{ \left[ \dot{x}_0+\frac{F_{max}}{m}\tau\right] d\tau}=x_0+\dot{x}_0t+\frac{F_{max}}{m}\frac{t^{2}}{2}$

Проверить правильность выкладки не составляет ни какого труда, если взять вторую производную по времени от $x(t)$ или первую от $\dot{x}(t)$ :

$\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}(x_0+\dot{x}_0t+\frac{F_{max}}{m}\frac{t^{2}}{2})=\dot{x}_0+\frac{F_{max}}{m}t$

$\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}(\dot{x}_0+\frac{F_{max}}{m}t)=\frac{F_{max}}{m}$

Разогнать тележку это полдела. Теперь надо определить, когда пора переходить в режим торможения. Чрезмерное затягивание разгона может обернуться тем, что инерция тележки не позволит нам вовремя остановиться в заданной точке. В то же время, ранее начало торможения не позволит переместить тележку в заданное положение максимально быстро. Поэтому, когда мы далеки от заданного положения, разгоняемся максимально быстро и делаем это до тех пор, пока не наступит время подать максимальную обратную тягу (как это проиллюстрировано на рисунке 9), так чтобы тележка остановилась ровно в заданном положении.

Рисунок 9. Режим торможения.

Согласно условиям нашей задачи, такой алгоритм действий вполне приемлем, мало того, он соответствует принципу Понтрягина, который теоретически доказывает оптимальность упомянутого порядка действий с точки зрения наибыстрейшего перемещения материальной точки в заданное положение.

Таким образом, ключевым аспектом в работе релейного регулятора, является определение момента переключения привода тележки в режим торможения, когда тяга привода будет направлена противоположно направлению перемещения тележки. В рамках наших договоренностей, определить этот момент не составляет труда, если использовать закон об изменении кинетической энергии, который гласит, что приращение кинетической энергии материальной точки есть сумма работы всех приложенных к ней сил. В нашем, случае сила у нас прикладывается только одна – это тяга, развиваемая приводом. Поэтому, для того чтобы остановить движение тележки, привод должен совершить работу, равную накопленной кинетической энергии.

Кинетическая энергия, накопленная тележкой на момент торможения:

$W=\frac{m\dot{x}_T^{2}}{2}$ ,

где $\dot{x}_T$ – скорость тележки в момент начала торможения.

Работа привода тележки в режиме торможения: $A=-F_{max}\Delta x_T$ , где $\Delta x_T$ - расстояние, которое пройдет тележка с начала торможения до полной остановки, другими словами – тормозной путь.

Так как у остановившейся тележки кинетическая энергия равна нулю, то справедливо следующее выражение:

$0=W+A=\frac{m\dot{x}_T^{2}}{2}-F_{max} \Delta x_T\rightarrow \Delta x_t=\frac{m\dot{x}_T^{2}}{2F_{max}}$ .

С учетом заданного положения тележки определим значение координаты, при которой необходимо начинать торможение:

$\Delta x_T = x_g - x_T$ ,

$x_T = x_g - \frac{m\dot{x}_T^{2}}{2F_{max}}$ .

Таким образом, тормозной путь тележки зависит от квадрата ее скорости и от расстояния, которое ей предстоит пройти.

Обратите внимание, что для наибыстрейшего перемещения материальной точки необходимо произвести два включения привода («разгон», «торможение» и «стоп») на максимальную тягу. Это и есть признак оптимального по быстродействию управления материальной точкой. Понтрягин обобщает этот эффект на всевозможные динамические системы следующим образом: количество переключений на максимальное управление (плюс выключение привода в «ноль») равняется порядку дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы. Напомню, что порядок дифференциального уравнения – это максимальный порядок производных регулируемой координаты, фигурирующих в уравнении динамики.

Так, в дифференциальном уравнении, описывающем движение материальной точки (закон Ньютона), присутствует вторая производная координаты (ускорение), а производных более высокого порядка нет, потому что считаем что сила может изменяться как угодно быстро. Это значит, что движение материальной точки описывается дифференциальным уравнением второго порядка, соответственно количество переключений должно быть два.

Я думаю, что для многих читателей это утверждение окажется само собой разумеющимся, и я с этим согласен. Однако следствие этого утверждения имеет исключительно важное значение для дальнейших наших исследований. Заключается оно в том, что закон движения материальной точки при релейном управлении, соответствующем принципу Понтрягина, являются ЭТАЛОНОМ, по которому можно судить, насколько хорошо регулятор, работающий по любому другому алгоритмам, справляется со своей задачей. Осталось дело за малым – реализовать релейный регулятор, соответствующий принципу Понтрягина.

Не побоюсь повториться – в процессе перемещения тележки, движение которой подчиняется закону Ньютона, управление происходит строго в два приема: разгон и последующее за ним торможение на полной тяге.

Однако пора решить ряд формальных вопросов в контексте реализации этого алгоритма. Пьем кофе и переходим к следующему разделу.

Из чего состоит система управления<< Оглавление >>Ликвидация ошибки и оптимальный закон торможения

Рубрика: Новости

Элементарная теория автоматического управления

Быстрее! Сильнее! Точнее! Эффективный и простой алгоритм управления.

В первую очередь рассмотрим простой алгоритм работы регулятора, когда сигнал управления может принимать только три значения +1(«вперед»), 0 – «стоп», -1 («назад»).

Оставить комментарий